rakende cirkels
Opgave - NWO 2004 vraag 2
Twee cirkels $A$ en $B$, beide met straal 1, raken elkaar uitwendig. Vier cirkels $P,Q,R$ en $S$, alle vier met dezelfde straal $r$, liggen zo dat $P$ uitwendig raakt aan $A,B,Q$ en $S$, $Q$ uitwendig raakt aan $P,B$ en $R$, $R$ uitwendig raakt aan $A,B,Q$ en $S$, $S$ uitwendig raakt aan $P,A$ en $R$. Bereken de lengte van $r$.
- login om te reageren
Oplossing
Laat $M$ het midden zijn van cirkel $P$ , $N$ het midden van cirkel $S$, $K$ het midden van cirkel $A$
en $T$ is het raakpunt tussen de cirkels $A$ en $B$ .
Dan geldt voor driehoek $MNT$ :
$|MN|^{2}=|NT|^{2}+|MT|^{2}$
$4r^{2}=(2+r)^{2}+|MT|^{2}$
In driehoek $MTK$ geldt :
$|MK|^{2}=|KT|^{2}+|MT|^{2}$
$(1+r)^{2}=1^{2}+|MT|^{2}$
We krijgen dus volgende vergelijking:
$4r^{2}-(2+r)^{2}=|MT|^{2}=(1+r)^{2}-1$
Uitgewerkt geeft dit:
$r^{2}-3r-2=0$ en bijgevolg is $r=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$