NWO 2000

Vraag 1

We zeggen dat $a$ een macht van $b$ is als er een positief geheel getal $n$ bestaat zodanig dat $a=b^n$. We zeggen dat $a$ een veelvoud van $b$ is als er een geheel getal $n$ bestaat zodanig dat $a=nb$. Van de positieve gehele getallen $x,y$ en $z$ is gegeven dat $z$ zowel een macht van $x$ is als een macht van $y$. Welke van de volgende beweringen geldt (gelden) voor alle drietallen $x,y$ en $z$ die aan bovenstaande eis voldoen? Beargumenteer je antwoord.
a) $x+y$ is een even getal.
b) Van de getallen $x$ en $y$ is er één een veelvoud van het andere.
c) Van de getallen $x$ en $y$ is er één een macht van het andere.
d) Er is een getal $v$ waarvan zowel $x$ als $y$ een macht is.
e) Bij elke macht van $x$ en elke macht van $y$ is er een getal $w$ dat van elk van deze machten een macht is.
f) Er is een macht $x^k$ met $x^k>y$.

Vraag 2 Opgelost!

Er zijn drie bakken met elk 600 ballen. In de eerste bak zitten 600 identieke rode ballen, in de tweede bak 600 identieke witte ballen en in de derde bak 600 identieke blauwe ballen. Er worden in totaal 900 ballen getrokken uit de drie bakken zonder teruglegging. Hoeveel verschillende kleurencombinaties zijn er mogelijk? Voorbeelden van kleurencombinaties zijn 250 rode, 187 witte en 463 blauwe ballen of 360 rode en 540 blauwe ballen.

Vraag 3

Gegeven is een parallellogram $PQRS$. Twee gelijkbenige en gelijkvormige driehoeken driehoeken $QPA$ en $SPB$ worden buiten het parallellogram getekend met tophoeken $Q$ en $S$. Bewijs dat driehoek $RAB$ gelijkvormig is met de driehoeken $QPA$ en $SPB$.

Vraag 4 Opgelost!

Er staan 15 spelers op een veld, elk met een bal. De afstanden tussen elk tweetal spelers zijn alle verschillend. Elke speler gooit de bal naar die speler die het dichtst bij hem staat.
a) Bewijs dat er minstens één speler is naar wie geen bal gegooid wordt.
b) Bewijs dat er nooit meer dan 5 ballen naar één speler gegooid worden.

Vraag 5 Opgelost!

Een rij velden is genummerd $1,2,3,\ldots$. Een pion mag bij elke stap volgens een van de volgende regels van veld veranderen:
(i) van veld $n$ naar veld $2n$,
(ii) van veld $2n$ naar veld $n$,
(iii) van veld $n$ naar veld $3n+1$,
(iv) van veld $3n+1$ naar veld $n$.
a) Laat zien dat een pion van veld 29 naar veld 1 kan komen in een eindig aantal stappen.
b) Laat zien dat een pion van veld 63 naar veld 1 kan komen in een eindig aantal stappen.
c) Bewijs dat een pion van elk veld in de rij naar het veld met nummer 1 kan komen in een eindig aantal stappen.