balspel

Zij $d(x,y)$ de afstand tussen twee spelers en zij $V_x$ de verzameling spelers zonder speler $x$. Noteer $f(x)=\min_{y\in V_x}d(x,y)$.

1. Aangezien elke twee onderlinge afstanden verschillen, is ook $f(x)$ voor elke speler verschillend. Noem $x_0$ de speler waarvoor $f(x)$ maximaal is. Aangezien $f(x_0)$ maximaal is, hebben alle andere spelers een andere speler dan $x_0$ op minimale afstand staan, dus wordt er geen bal naar $x_0$ gegooid.
2. Stel dat een speler $y$ zes (of meer) ballen krijgt (nummer die clockwise als $y_1,y_2,...,y_6$), dan geldt dus dat $$\angle y_1yy_2+\angle y_2yy_3+\angle y_3yy_4+\angle y_4yy_5+\angle y_5yy_6+\angle y_6yy_1=360^\circ$$ zodat minstens één van deze niet groter is dan $60^\circ$ is, zonder verlies van algemeenheid $\angle y_1yy_2\le 60^\circ$, met $d(y,y_1)\le d(y,y_2)$. De cosinusregel zegt ons dan dat $$d(y_1,y_2)=\sqrt{d(y,y_1)^2+d(y,y_2)^2-d(y,y_1)d(y,y_2)}\le d(y,y_1).$$ Aangezien elke twee afstanden verschillend zijn, is de ongelijkheid strikt, en is $y$ niet meer de speler die dichtst bij $y_1$ staat, strijdigheid.

[/]