telprobleem
Opgave - NWO 2000 vraag 2
Er zijn drie bakken met elk 600 ballen. In de eerste bak zitten 600 identieke rode ballen, in de tweede bak 600 identieke witte ballen en in de derde bak 600 identieke blauwe ballen. Er worden in totaal 900 ballen getrokken uit de drie bakken zonder teruglegging. Hoeveel verschillende kleurencombinaties zijn er mogelijk? Voorbeelden van kleurencombinaties zijn 250 rode, 187 witte en 463 blauwe ballen of 360 rode en 540 blauwe ballen.
- login om te reageren
Oplossing
Als er $n\leq 299$ rode ballen gekozen worden, dan zijn er $600-300+n+1=301+n$ mogelijkheden voor het aantal witte ballen, waarvoor telkens maar $1$ mogelijkheid is bij de blauwe ballen.
$0R$ -> $301$ combinaties
$1R$ -> $302$ combinaties
$2R$ -> $303$ combinaties
...
$299R$ -> $600$ combinaties
+___________________
$\frac{300*901}{2}=135150$ combinaties
Als er $n\geq301$ rode ballen gekozen worden, dan zijn er $600+300-n+1=901-n$ mogelijkheden voor het aantal witte ballen, waarvoor telkens maar $1$ mogelijkheid is bij de blauwe ballen.
$301R$ -> $600$ combinaties
...
$600R$ -> $301$ combinaties
+___________________
$\frac{300*901}{2}=135150$ combinaties
Indien er $300$ rode ballen zijn, zijn er volgens beide rekenwijzes $601$ mogelijkheden.
Tellen we dus alles op:
$2*135150+601=270901$
****
alternatief:
$900$ ballen in $3$ kleuren op te delen, kunnen we op $\binom{902}{2}$ manieren .
[ neem $902$ bollen en maak er $2$ streepjes van voor de scheiding per kleur]
Nu hebben we ook de wijzes waarbij een kleur meer dan $600$ keer voorkomt, meegeteld.
Als een kleur minimaal $601$ keer voorkwam, kunnen we de andere $299$ nog kleuren in een bepaalde verhouding, dit geeft $\binom{301}{2}$ manieren om $299$ ballen op te delen in $3$ kleuren.
Dit gaf $\binom{902}{2}-3*\binom{301}{2}=270901$ manieren.