NWO 1998

Vraag 1 Opgelost!

We zetten de getallen $0,1,2,...,9$
in een willekeurige volgorde. Van elk drietal opeenvolgend geplaatste getallen in het rijtje bepalen we de som. Het maximum van die sommen noemen we $M$. Voorbeeld: voor het rijtje $4,6,2,9,0,1,8,5,7,3$ is $M$ gelijk aan $20 (=8+5+7)$.
a) Bepaal een rijtje met $M=13$.
b) Bewijs dat er geen rijtje bestaat met $M=12$.

Vraag 2

Een vierzijdige piramide $TABCD$ heeft een vierkant met zijde 4 als grondvlak. Van de vier zijvlakken is minstens één zijvlak een gelijkbenige driehoek en ook minstens één zijvlak een rechthoekige driehoek. Welke waarde(n) kan de inhoud van de piramide aannemen?

Vraag 3 Opgelost!

Van twee positieve gehele getallen $m$ en $n$ is het kleinste gemeenschappelijke veelvoud gelijk aan 133866. Het verschil $m-n$ is gelijk aan 189. Bereken $m$ en $n$.
(Het is niet voldoende getallen voor $m$ en $n$ te noemen en te laten zien dat deze aan de voorwaarden voldoen. Uit de berekening of beredenering zal moeten blijken dat je alle mogelijkheden gevonden hebt.)

Vraag 4 Opgelost!

Gegeven is een convexe vierhoek $ABCD$ waarin de diagonalen loodrecht op elkaar staan.
a) Bewijs: $AB^2+CD^2=BC^2+DA^2$.
b) Als $PQRS$ een convexe vierhoek is met $PQ=AB$, $QR=BC$, $RS=CD$, $SP=DA$ dan staan de diagonalen loodrecht op elkaar. Bewijs dit.

Vraag 5 Opgelost!

Bepaal alle oplossingen van de vergelijking
$$(x+1995)(x+1997)(x+1999)(x+2001)+16=0.$$