vliegers

Tags:

Opgave - NWO 1998 vraag 4

Gegeven is een convexe vierhoek $ABCD$ waarin de diagonalen loodrecht op elkaar staan.
a) Bewijs: $AB^2+CD^2=BC^2+DA^2$.
b) Als $PQRS$ een convexe vierhoek is met $PQ=AB$, $QR=BC$, $RS=CD$, $SP=DA$ dan staan de diagonalen loodrecht op elkaar. Bewijs dit.

Oplossing

a) Noem $S$ het snijpunt van de diagonalen. We passen pythagoras toe:
$AB^2+CD^2 = (AS^2+BS^2)+(DS^2+CS^2)= (BS^2+CS^2)+(AS^2+DS^2)=BC^2+BC^2$

b) Noem $M$ het snijpunt van de diagonalen in $PQRS$ en $\alpha = \angle PMQ$
We weten dat $PQ^2+RS^2=QR^2+PS^2$
Dit uitwerken met de cosinusregel en de kwadraattermen schrappen geeft:
$QM*RM*cos(\alpha)+PM*SM*cos(\alpha)+QM*PM*cos(\alpha)+SM*RM*cos(\alpha)=0$

ontbinden in factoren geeft
$cos( \alpha) (RM+PM)(SM+QM)=0$
dus $cos( \alpha) = 0$ en $\alpha=90^{\circ}$