kleinste gemene veelvoud

Opgave - NWO 1998 vraag 3

Van twee positieve gehele getallen $m$ en $n$ is het kleinste gemeenschappelijke veelvoud gelijk aan 133866. Het verschil $m-n$ is gelijk aan 189. Bereken $m$ en $n$.
(Het is niet voldoende getallen voor $m$ en $n$ te noemen en te laten zien dat deze aan de voorwaarden voldoen. Uit de berekening of beredenering zal moeten blijken dat je alle mogelijkheden gevonden hebt.)

Oplossing

De priemfactorisatie van 133866 is $2*3*3*3*37*67$ (1).
Die van 189 is $3*3*3*7$ (2).
Uit (1) leiden we af dat ofwel $m$ ofwel $n$ deelbaar is door 27.
Uit (2) leiden we af dat zowel $m$ als $n$ deelbaar door 27 zijn, en dat $2,37$ en $67$ slechts in één van beide getallen voorkomen.

Nu kunnen $2,37$ en $67$ nog op 3 manieren gerangschikt worden. ( $ggd(m,n)|m-n$ )
Enkel $3*3*3*2*37$ en $3*3*3*67*$ voldoen aan de voorwaarde.
kgv van 1998 en 1809 is 133866, hun verschil is 189.

Antwoord: We hebben aangetoond dat de $2$ getallen $1809,1998$ zijn.