kleinste gemene veelvoud
Opgave - NWO 1998 vraag 3
Van twee positieve gehele getallen $m$ en $n$ is het kleinste gemeenschappelijke veelvoud gelijk aan 133866. Het verschil $m-n$ is gelijk aan 189. Bereken $m$ en $n$.
(Het is niet voldoende getallen voor $m$ en $n$ te noemen en te laten zien dat deze aan de voorwaarden voldoen. Uit de berekening of beredenering zal moeten blijken dat je alle mogelijkheden gevonden hebt.)
- login om te reageren
Oplossing
De priemfactorisatie van 133866 is $2*3*3*3*37*67$ (1).
Die van 189 is $3*3*3*7$ (2).
Uit (1) leiden we af dat ofwel $m$ ofwel $n$ deelbaar is door 27.
Uit (2) leiden we af dat zowel $m$ als $n$ deelbaar door 27 zijn, en dat $2,37$ en $67$ slechts in één van beide getallen voorkomen.
Nu kunnen $2,37$ en $67$ nog op 3 manieren gerangschikt worden. ( $ggd(m,n)|m-n$ )
Enkel $3*3*3*2*37$ en $3*3*3*67*$ voldoen aan de voorwaarde.
kgv van 1998 en 1809 is 133866, hun verschil is 189.
Antwoord: We hebben aangetoond dat de $2$ getallen $1809,1998$ zijn.