rijtjes

$a)$ bvb. $9,4,0,7,5,1,6,2,3,8$ of $9,3,1,7,2,4,6,0,5,8$

$b)$ definieer $S$ de som van alle $8$ de sommen van zo'n rijtje. als je nu aanneemt dat $M=12$, moet $S\leq 4*12+4*11=92$, aangezien we niet twee keer opeenvolgend dezelfde som kunnen hebben. $(*)$

$S$ kun je exact berekenen: het eerste element van een gegeven rijtje komt net als het laatste element één keer voor in $S$, het tweede en voorlaatste element komen elk twee keer voor in $S$, en alle andere elementen $3$ keer. dus:
$S=a_1+a_{10}+2(a_2+a_9)+3(a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8)$ met $a_i$ het $i$-de element uit een gegeven rijtje.
deze uitdrukking is minimaal als $a_1$ en $a_{10}$ de grootste elementen zijn ($9$ en $8$), met daaropvolgend $a_2$ en $a_9$, deze zijn dan $7$ en $6$, en alle resterende elementen moeten dan drie keer voorkomen, dit zijn dan $0$ tot $5$.

maar er is een probleem, $a_2$ en $a_9$ kunnen niet $7$ en $6$ zijn omdat we dan over de som van $12$ gaan . elementen die geschikt zijn, zijn enkel $0$ tot en met $4$. we kunnen niet $3$ en $4$ kiezen, want anders zouden $a_3$ en $a_8$ allebei $0$ zijn. $4$ en $2$ gaat wel, dus dit zijn de waarden voor $a_2$ en $a_9$. $7$ en $6$ moeten dus beide driemaal geteld worden.

[merk gewoon op dat $a_1+a_2$ en $a_9 + a_{10}$ niet beide $12$ kunnen zijn. ( dus wel $11$ en $12$) en dat de som minimaal is als we dan $a_1$ en $a_{10}$ maximaliseren]
we hebben dus: $S_{min}=9+8+2(4+2)+3(7+6+5+3+1+0)=95$, contradictie volgens $*$.