NWO 1993

Vraag 1 Opgelost!

$V$ is de verzameling getallen $\{1,2,3,\ldots,24,25\}$.
a) Laat zien dat uit $V$ een deelverzameling van 16 getallen gekozen kan worden waarvoor geldt dat het product van geen enkel tweetal getallen uit die deelverzameling het kwadraat van een geheel getal is.
b) Laat zien dat elke deelverzameling van $V$ met 17 of meer elementen een tweetal getallen bevat waarvan het product een kwadraat van een geheel getal is.

Vraag 2

Gegeven is een driehoek $ABC$, hoek $\angle A=90^\circ$. $D$ is het midden van $BC$, $F$ is het midden van $AB$, $E$ het midden van $AF$ en $G$ het midden van $FB$. $AD$ snijdt $CE$, $CF$ en $CG$ respectievelijk in $P,Q$ en $R$. Bepaal de verhouding van de lengten van de lijnstukken $PQ$ en $QR$.

Vraag 3 Opgelost!

Een rij getallen is als volgt gedefinieerd: $u_1=a,u_2=b,u_{n+1}=\frac12(u_n+u_{n-1})$ voor $n\geq2$. Er bestaat een getal $L$ waartoe de getallen $u_n$ steeds dichter naderen naarmate $n$ groter wordt. Toon dit aan en druk de waarde van $L\ (\lim_{n\rightarrow\infty}u_n )$ uit in $a$ en $b$.

Vraag 4

In een vlak $V$ ligt een cirkel $C$ met middelpunt $M$. $P$ is een punt dat niet op de cirkel $C$ ligt.
a) Bewijs dat $AP^2+BP^2$ constant is bij vaste $P$ voor elke middellijn $AB$ van $C$.
b) $AB$ is weer een willekeurige middellijn van $C$ en $P$ is nu een variabel punt op een bol die het vlak $V$ niet snijdt. Hoe moet $P$ op de bol gekozen worden zodat $AP^2+BP^2$ minimaal is?

Vraag 5

Op een lijn zijn elf verschillende punten gegeven $P_1,P_2,\ldots,P_{11}$. Voor elk tweetal punten geldt: afstand $P_iP_j\leq1$. Bewijs dat de som van alle (55) afstanden $P_iP_j,1\leq i\leq j\leq11$ kleiner is dan 30.