limiet
Opgave - NWO 1993 vraag 3
Een rij getallen is als volgt gedefinieerd: $u_1=a,u_2=b,u_{n+1}=\frac12(u_n+u_{n-1})$ voor $n\geq2$. Er bestaat een getal $L$ waartoe de getallen $u_n$ steeds dichter naderen naarmate $n$ groter wordt. Toon dit aan en druk de waarde van $L\ (\lim_{n\rightarrow\infty}u_n )$ uit in $a$ en $b$.
- login om te reageren
Oplossing
$u_1=a, u_2=b, u_3=\frac12(a+b), u_4=\frac14(a+3b), u_5=\frac18(3a+5b)$
Dan geldt dat $u_{n}= \frac{2^{n-2}-(-1)^{n-2}}{3*2^{n-2}} a +\frac{2*2^{n-2}+(-1)^{n-2}}{3*2^{n-2}} b$ voor $n \in \{1,2,3,4,5\}$. (inductiebasis en inductiehypothese)
We bewijzen dat deze formule geldt per inductie:
$u_{n+1}=\frac12 u_n+\frac12 u_{n-1}$
(IH) $=\frac{2^{n-2}-(-1)^{n-2}}{3*2^{n-1}} a +\frac{2*2^{n-2}+(-1)^{n-2}}{3*2^{n-1}} b$
$+\frac{2^{n-3}-(-1)^{n-3}}{3*2^{n-2}} a +\frac{2*2^{n-3}+(-1)^{n-3}}{3*2^{n-2}} b$
$=\frac{2^{n-1}-(-1)^{n-1}}{3*2^{n-1}} a +\frac{2*2^{n-1}+(-1)^{n-1}}{3*2^{n-1}} b.$
Dus $L = \lim_{n\rightarrow\infty}u_n =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{2^{n-2}-(-1)^{n-2}}{3*2^{n-2}} a +\frac{2*2^{n-2}+(-1)^{n-2}}{3*2^{n-2}} b= \frac{a+2b}3$ .