APMC 1990
Dag 1
Vraag 1
De punten $X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6$ liggen allemaal aan dezelfde kant van de rechte $AB$. Als alle zes de driehoeken $ABX_i$ gelijkvormig zijn, toon aan dat alle $X_i$ op een cirkel liggen.
Vraag 2 Opgelost!
Vind alle natuurlijke getallen $a,b,c$ die voldoen aan $a^{b^c}b^{c^a}c^{a^b} = 1990^{1990}abc$.
Vraag 3
Toon aan dat er twee reële oplossingen zijn voor
$$x+y^2+z^4=0$$
$$y+z^2+x^4=0$$
$$z+x^2+y^4=0.$$
Dag 2
Vraag 1
Vind alle oplossingen in natuurlijke getallen voor
$$x_1^4+14x_1x_2+1=y_1^4$$
$$x_2^4+14x_2x_3+1=y_2^4$$
$$\ldots$$
$$x_n^4+14x_nx_1+1=y_n^4.$$
Vraag 2
Als $a_1,a_2,\ldots,a_n$ een permutatie is van $\{1,...,n\}$, noem dan $\sum|a_i-i|$ zijn modsom. Vind de gemiddelde modsom van alle $n!$ permutaties.
Vraag 3
$p(x)$ is een veelterm met gehele coëfficiënten. De rij $a_1,a_2,\ldots,a_n$ voldoet aan $a_2=p(a_1),a_3=p(a_2),\ldots,a_n=p(a_{n-1}),a_1=p(a_n)$. Toon aan dat $a_1=a_3$.
Dag 3
Vraag 1
$D_n$ is een verzameling dominostenen. Voor ieder paar natuurlijke getallen $(a,b)$ met $a\leq b\leq n$ bestaat er een dominosteen, genoteerd als $[a,b]$ of $[b,a]$ in $D_n$. $[a_1,b_1],[a_2,b_2],\ldots,[a_k,b_k]$ wordt een ring genoemd als $b_1=a_2,b_2=a_3,\ldots,b_k=a_1$. Toon aan dat als $n$ even is, er een ring bestaat die al de stenen gebruikt. Toon aan dat voor oneven $n$, er minstens $\displaystyle{\frac{n+1}2}$ stenen niet gebruikt worden in een ring. Voor oneven $n$, hoeveel verschillende verzamelingen $\displaystyle{\frac{n+1}2}$ zijn er, zodat de stenen niet in de verzameling een ring kunnen vormen?
Vraag 2
Een voorraad van $a\times b$ tegels wordt gegeven, waar $a$ en $b$ twee verschillende natuurlijke getallen zijn. De tegels dienen om een $28\times48$ rechthoek te betegelen. Vind $a,b$ zodanig dat de tegel de kleinst mogelijke oppervlakte heeft en er slechts één betegeling mogelijk is. (Als er twee verschillende betegelingen zijn, één die een spiegeling is van de andere, dan is dit meer dan één betegeling. Hetzelfde voor andere symmetrieën.) Vind ook $a,b$ met de grootst mogelijke oppervlakte en meer dan één betegeling.
Vraag 3
$a_1,a_2,\ldots,a_n$ is een rij van gehele getallen zodat ieder niet-lege deelverzameling een som heeft verschillend van 0. Toon aan dat we de natuurlijke getallen kunnen verdelen in een eindig aantal verzamelingen zodat als alle $x_i$ tot dezelfde verzameling behoren, dan $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\neq0$.
