machten

We hebben dat $a^{b^c - 1} b^{c^a - 1} c^{a^b - 1} = 1990^{1990}$. Veronderstel dat $a,b,c \geq 1$.

Veronderstel dat $a,b,c \geq 2$. Een van de getallen $a$, $b$ en $c$ is deelbaar door $199$. Stel $199\mid a$, zodat $a \geq 199$. Dan is $$b^{c^a - 1} \geq 2^{2^{199} - 1} > 1990^{1990},$$ contradictie.

We mogen dus (z.v.v.a. of WLOG) veronderstellen dat $c = 1$. Dan is $a^{b - 1} = 1990^{1990}$. Schrijf $a = 2^x 5^y 199^z$, dan is $$x(b - 1) = y(b - 1) = z(b - 1) = 1990$$ zodat $x = y = z$ en $a = 1990^x$.

Het is nu niet moeilijk om de oplossingen op te sommen waarvoor $c = 1$:
$$\left(1990^{1990},2,1\right), \left(1990^{995},3,1\right), \left(1990^{398},6,1\right), \left(1990^{199},11,1\right),$$ $$\left(1990^{10},200,1\right), \left(1990^5,399,1\right), \left(1990^2,996,1\right), \left(1990,1991,1\right).$$
Door cyclische permutaties komen we op $24$ oplossingen.