APMC 1984
Dag 1
Vraag 1
Een viervlak wordt zo geconstrueerd dat ieder voetpunt van de hoogtelijn uit de vier hoekpunten samenvalt met het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de tegenoverliggende zijde. Toon aan dat het viervlak regelmatig is.
Vraag 2
Vind het natuurlijk getal $n$ dat voldoet aan volgende voorwaarden:
(i) $n$ bestaat uit vier cijfer;
(ii) $n$ heeft slechts twee verschillende cijfers, waarvan er geen enkele 0 is;
(iii) de grootste gemene deler van $n$ en $f(n)$ is maximaal (met $f(n)$ bedoelen we het cijfer bekomen door de twee cijfers uit $n$ om te wisselen in $n$).
Vraag 3 Opgelost!
Toon aan dat voor ieder natuurlijk getal $n>1$ en positieve reële getallen $k,x_1,x_2,x_3,...,x_n$ geldt dat
$$\frac{k^{x_1-x_2}}{x_1+x_2}+\frac{k^{x_2-x_3}}{x_2+x_3}+ \cdots+\frac{k^{x_n-x_1}}{x_n+x_1}\geq\frac{n^2} {2(x_1+x_2+\cdots+x_n)}.$$
Wanneer treedt gelijkheid op?
Dag 2
Vraag 1
$ABCDEFG$ is een regelmatig zevenhoek en $P$ is een punt op de koorde tussen $G$ en $A$ op de omgeschreven cirkel van $ABCDEFG$. Toon aan dat $PA+PC+PE+PG=PB+PD+PF$.
Vraag 2
Gegeven zijn $n>2$ verschillende gehele getallen $a_1,a_2,...,a_n$. Vind alle oplossingen $(x_1,x_2,...,x_n,y)$ in natuurlijke getallen van de vergelijkingen
$$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=yx_1$$
$$a_2x_1+a_3x_2+\cdots+a_1x_n=yx_2$$
$$\ldots$$
$$a_nx_1+a_1x_2+\cdots+a_{n-1}x_n=yx_2$$
zodat de grootste gemene deler van alle $x_i$ 1 is.
Vraag 3
De punten van een graaf worden gelabeld met $A_1,A_2,...,A_n$ en $B_1,B_2,...,B_n$. Van $A_i$ moeten we een rode pijl tekenen naar één van de punten $B_i,A_{i+1},B_{i+1}$ en een blauwe pijl naar één van de punten $B_i,A_{i-1},B_{i-1}$, maar de twee pijlen moeten naar een verschillend punt gaan. Van $B_i$ moeten we een rode pijl tekenen naar één van de punten $A_i,A_{i-1},B_{i-1}$ en een blauwe pijl naar één van de punten $A_i,A_{i+1},B_{i+1}$, maar de twee pijlen moeten opnieuw naar een verschillend punt gaan. Merk op dat $A_0,B_0,A_{n+1},B_{n+1}$ niet bestaan, dus moet (bijvoorbeeld) de blauwe pijl van $A_1$ naar $B_1$ gaan. Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er om dit te realiseren?
Dag 3
Vraag 1
Een $m\times n-$matrix van reële getallen waarvan elk element een absolute waarde heeft van maximum 1, heeft als som van iedere kolom 0. Toon aan dat we de getallen in iedere kolom kunnen herschikken zodat de absolute waarde van de som van de elementen uit iedere rij kleiner is dan 2.
Vraag 2
Definieer $f]1,+\infty[\rightarrow]1,+\infty[$ en $g]1,+\infty[\rightarrow]1,+\infty[$ als $f(x)=2x$ en $\displaystyle{g(x)=\frac{x}{x-1}}$. Toon aan dat als we twee reële getallen $1 Vind alle functies $f\mathbb Q \rightarrow\mathbb R$ die voldoen aan $f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$ voor alle $x,y\in\mathbb Q$.Vraag 3 Opgelost!
