functievergelijking

stel $x=y=0$ dan is $f(0)=1$.

Als $f(1)=1$ :
stel vervolgens $y=1$ : $f(x+1)=f(x)*f(1)-f(x)+1=1$
Dus voor alle $x$ geldt dat $f(x)=1$ en deze functie voldoet ook.

Als $f(1) \not = 1$ , schrijf dan $a=f(1)-1$ zodat we zien dat $f(x+1)=af(x)+1$
dan is $f(n)=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$ en $x=y=2$ invullen, geeft dat $a^4=a^2$ en dus $a=1$ of $-1.$

In het eerste geval is $f(n)=n+1$ voor alle gehele n met inductie.
Door $x=m/t$ en $y=t$ in te vullen, bekomt men dat deze formule blijft gelden voor alle rationale getallen.

In het tweede geval is $f(2n+1)=0$ en $f(2n)=1$ voor n geheel.
$P(1/2,2)$ invullen geeft dan een contradictie, omdat $f(x+2)=f(x)$ enerzijds voor alle x,
Maar anderzijds voor x een half, hebben we $f(x+2)=f(x)+1$, contradictie.

Er zijn dus slechts 2 oplossingen. F is 1 en Fx=x+1, wat we eenvoudig kunnen controleren dat ze idd werken.