ongelijkheid
Opgave - APMC 1984 dag 1 vraag 3
Toon aan dat voor ieder natuurlijk getal $n>1$ en positieve reële getallen $k,x_1,x_2,x_3,...,x_n$ geldt dat
$$\frac{k^{x_1-x_2}}{x_1+x_2}+\frac{k^{x_2-x_3}}{x_2+x_3}+ \cdots+\frac{k^{x_n-x_1}}{x_n+x_1}\geq\frac{n^2} {2(x_1+x_2+\cdots+x_n)}.$$
Wanneer treedt gelijkheid op?
- login om te reageren
Oplossing
Cauchy in Engel form zegt dat het linkerlid groter is dan
$\frac{\left(k^{(x_1-x_2)/2} + k^{(x_2-x_3)/2} + \ldots + k^{(x_n-x_1)/2}\right)^2}{2(x_1+x_2+\ldots+x_n)}$
En dan een AM-GM op de teller om te concluderen.
Gelijkheid: door de AM-GM moet $(x_{k-1}-x_k)/2 = (x_k-x_{k+1})/2$ voor alle $k$ (indices modulo $n$). Bijgevolg moet elke $x_i$ het rekenkundig gemiddelde zijn van zijn "buren". Hieruit volgt dat ze allemaal gelijk moeten zijn. (Stel dat er verschillende zouden zijn, en neem de kleinste. Er volgt dat zijn "buren" gelijk moeten zijn aan hem. En die hun "buren", en die hun "buren", enz. Dus ze zijn allen gelijk.)
Als ze allen gelijk zijn, gaat men gemakkelijk na dat er gelijkheid optreedt.