APMC 1979
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
$ABCD$ is een vierkant met $E$ een willekeurig punt op $AB$. $F$ is het punt op $BC$ zodat $BF=BE$. De loodlijn uit $B$ op $EF$ snijdt $EF$ in $G$. Toon aan dat $\angle DGF=90^\circ$.
Vraag 2 Opgelost!
Vind alle veeltermen van graad $n$ met reële wortels $x_1\leq x_2\leq...\leq x_n$ zodat $x_k\in[k,k+1]$ en het product van de wortels gelijk is aan $\frac{n+1}{(n-1)!}$.
Vraag 3
Vind alle natuurlijke getallen $n$ zodat voor alle reële getallen $x_1,x_2,...,x_n$ geldt dat $S_2S_1-S_3\geq6P$, met $S_k=\sum x_i^k$ en $P=\prod x_i$.
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
Vind alle functies $f\mathbb N\rightarrow\mathbb R$ die voldoen aan $f(m+n)+f(m-n)=f(3m)$ voor alle $m,n\in\mathbb N$.
Vraag 2
Een viervlak heeft als midden van zijn omgeschreven sfeer $O$ en midden van zijn ingeschreven sfeer $I$. Toon aan dat als $O=I$ dat de vlakken van het viervlak allemaal congruent zijn.
Vraag 3
Zij $k$ een reëel en $n$ een natuurlijk getal. Vind alle oplossingen $(x_1,x_2,...,x_n)$ van de $n$ vergelijkingen
$$x_1+x_2+\cdots+x_n=k$$
$$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=k^2$$
$$\ldots$$
$$x_1^n+x_2^n+\cdots+x_n^n=k^n$$
Dag 3
Vraag 1
Vind het aantal paden van $(0,0)$ naar $(n,m)$ die door iedere knoop maximum éénmaal passeren.
Vraag 2
$ABCD$ is een viervlak met $M$ het midden van $AC$ en $N$ het midden van $BD$. Toon aan dat $AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2$.
Vraag 3
Vind de grootste macht van 2 die$\lfloor (3+\sqrt{11})^{2n+1}\rfloor$ deelt.
