Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Midden-Europa › APMC › 1979 › product der wortels

product der wortels

Tags:

Opgave - APMC 1979 dag 1 vraag 2

Vind alle veeltermen van graad $n$ met reële wortels $x_1\leq x_2\leq...\leq x_n$ zodat $x_k\in[k,k+1]$ en het product van de wortels gelijk is aan $\frac{n+1}{(n-1)!}$.

Oplossing

Ingediend door C|Debry

Aangezien

$$\frac{n+1}{(n-1)!} = x_1x_2\cdots x_n \geq 1\cdot 2\cdots n = n!$$

moet er gelden dat $n+1 \geq (n-1)!n!$. Als $n\geq 3$, dan geldt deze ongelijkheid duidelijk niet, dus $n=1,2$.
Als $n=1$, dan moet $x_1 = \frac{n+1}{(n-1)!} = 2$, dus $x-2$ is een mogelijkheid. (Hij voldoet ook aan $x_1 \in\left[1,2\right]$.)
Als $n=2$, dan moet $x_1x_2 = \frac{n+1}{(n-1)!} = 3$. We hebben dus een vergelijking $x^2-ax+3$. De discriminant hiervan is $a^2-12$. De kleinste oplossing $x_1$ moet voldoen aan $1\leq x_1\leq 2$, dus

$$\begin{aligned}1 \leq \frac{a-\sqrt{a^2-12}}{2} \leq 2\ & \Longleftrightarrow\ a-4 \leq \sqrt{a^2-12} \leq a-2\ \\ & \Longleftrightarrow\ -8a+16 \leq -12 \leq -4a+4\ \\ & \Longleftrightarrow\ a\in\left[3.5,4\right].\end{aligned}$$

De grootste oplossing $x_2$ moet voldoen aan $2\leq x_2\leq 3$, dus

$$\begin{aligned} 2 \leq \frac{a+\sqrt{a^2-12}}{2} \leq 3\ & \Longleftrightarrow\ 4-a \leq \sqrt{a^2-12} \leq 6-a\ \\ & \Longleftrightarrow\ 16-8a \leq -12 \leq 36-12a\ \\ & \Longleftrightarrow\ a\in\left[3.5,4\right].\end{aligned}$$

Dus, als $a\in\left[3.5,4\right]$, dan voldoet $x^2-ax+3$ ook aan de opgave.