MEMO 2023

Dag 1

Vraag 1

Voor elk paar $(\alpha, \beta)$ van niet-negatieve reële getallen waarvoor $\alpha+\beta \geq 2$, bepaal alle functies $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, zodanig dat $f(x)f(y) \leq f(xy)+\alpha x+\beta y$ voor alle reële getallen $x$ en $y$.

Vraag 2

Vind alle positieve gehele getallen $n \geq 3$, waarvoor het mogelijk is om $n$ koorden op een cirkel te tekenen, waarvan de $2n$ eindpunten onderling verschillend zijn, zodat elk koord precies $k$ andere koorden doorsnijdt voor:

(a) $k=n-2$,

(b) $k=n-3$.

Vraag 3

Laat $ABC$ een driehoek zijn met het ingeschreven middelpunt $I$, en de ingeschreven cirkel raakt $BC$ aan bij $D$. De punten $E$ en $F$ zijn zodanig dat $BE \parallel AI \parallel CF$ en $\angle BEI = \angle CFI = 90^{\circ}$. Als $DE$ en $DF$ de ingeschreven cirkel snijden bij respectievelijk $E'$ en $F'$, toon dan aan dat $E'F' \perp AI$.

Vraag 4

Laat $n, m$ positieve gehele getallen zijn. Een verzameling $S$ van positieve gehele getallen wordt $(n, m)$-goed genoemd als:

(1) $m \in S$;
(2) voor alle $a \in S$ geldt dat alle delers van $a$ ook in $S$ zitten;
(3) voor alle ongelijke $a, b \in S$ geldt dat $a^n + b^n \in S$.

Voor welke waarden van $(n, m)$ is de enige $(n, m)$-goede verzameling gelijk aan de verzameling van alle positieve gehele getallen $\mathbb{N}$?