MEMO 2007

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $a,b,c,d>0$ met $a+b+c+d = 4$. Bewijs dat $$a^{2}bc+b^{2}cd+c^{2}da+d^{2}ab\le 4.$$

Vraag 2

We hebben $k>1$ verzamelingen van $n$ ballen, met in elke verzameling de ballen genummerd (van $1$ tot en met $n$ telkens). We willen nu elke ballen wit of zwart kleuren, zodanig dat

• ballen met hetzelfde nummer hebben dezelfde kleur
• elke deelverzameling van $k+1$ ballen met (niet noodzakelijk verschillende) labels $a_{1},a_{2},\ldots,a_{k+1}$ die voldoen aan $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}= a_{k+1}$ hebben minstens van elke kleur een bal.

Vind de grootst mogelijke $n$ (in functie van $k$) waarvoor zo'n kleuring mogelijk is.

[/]

Vraag 3

Zij $k$ een cirkel en $k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}$ vier kleinere cirkels met middelpunten respectievelijk $O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ op $k$ gelegen. Als de cirkels $k_i$ en $k_{i+1}$ (met $k_5=k_1$) telkens snijden in een punt $A_{i}$ op $k$ en een punt $B_{i}$ niet op $k$ en als de punten $O_{1},A_{1},O_{2},A_{2},O_{3},A_{3},O_{4},A_{4}$ twee aan twee verschillend zijn en in die volgorde op $k$ liggen, bewijs dan dat $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}$ een rechthoek is.

Vraag 4

Bepaal alle koppels gehele getallen $(x,y)$ met $x,y>0$ die voldoen aan $x!+y!=x^{y}$.

Dag 2

Vraag 1

Zij $\frac12\le a,b,c,d\le 2$ met $abcd=1$. Vind de maximumwaarde van $$\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right) \left(c+\frac{1}{d}\right)\left(d+\frac{1}{a}\right).$$

Vraag 2

Voor een verzameling $P$ van vijf punten in het vlak noteren we $s(P)$ het aantal scherphoekige driehoeken met alledrie de hoekpunten in $P$. Wat is de maximale waarde van $s(P)$?

Vraag 3

Een tetraëder noemt men een MEMO-tetraëder als de lengtes van de ribben zes verschillende gehele getallen zijn waaronder één van lengte $2$ en één van lengte $3$. Noteer $l(T)$ de som van de zijdelengtes van de tetraëder $T$.

1. Vind alle gehele getallen $n>0$ waarvoor er een MEMO-tetraëder bestaat met $l(T)=n$.
2. Hoeveel twee aan twee niet-congruente MEMO-tetraëders met $l(T)=2007$ kun je vinden?

Niet-congruent betekent hier: niet uit elkaar verkrijgbaar door spiegelingen/draaingen/rotaties. Je moet niet bewijzen dat de tetraëders niet-ontaard zijn (=een volume groter nul dan hebben).

[/]

Vraag 4

Vind alle gehele getallen $k>0$ waarvoor er een $a\in\mathbb{Z}$ bestaat waarvoor $(a+k)^{3}-a^{3}$ deelbaar door $2007$ is.