IrMO 2003

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle gehele oplossingen voor
$$(m^2+n)(m+n^2)=(m+n)^3.$$

Vraag 2 Opgelost!

$QB$ is een koorde van de cirkel parallel met de diameter $PA$. De rechten $PB$ en $QA$ snijden in $R$. $S$ wordt getekend zodat $PORS$ een parallellogram is (met $O$ het midden van de cirkel). Toon aan dat $SP=SQ$.

Vraag 3

Reken uit:
$$\sum_{i=1}^{2003}\left(\left\lfloor\sqrt i\right\rfloor-\left\lfloor\sqrt[3]i\right\rfloor\right).$$

Dag 2

Vraag 1

Acht spelers doen mee in een schaaktornooi. Iedere twee spelers spelen maximum 1 maal tegen elkaar en geen 5 spelers spelen allemaal tegen elkaar. Schrijf een mogelijke schikking zodat er in totaal 24 spelletjes gespeeld worden die voldoen aan de voorwaarden, en toon aan dat er geen schikking met 25 spelletjes bestaat.

Vraag 2

Toon aan dat er geen functie $f\mathbb R^+\rightarrow\mathbb R$ bestaat zodat $f(y)>(y-x)f(x)^2$ voor alle $x,y$ met $y>x$.

Vraag 3 Opgelost!

Een driehoek heeft zijden $a,b,c$ met $a+b+c=2$. Toon aan dat
$$1\leq ab+bc+ca-abc\leq\frac{28}{27}.$$

Dag 3

Vraag 1

$ABCD$ is een vierhoek. De voetpunten van de loodrechten uit $D$ op $AB,BC$ zijn $P,Q$ respectievelijk en de voetpunten van de loodrechten uit $B$ op $AD,CD$ zijn $R,S$ respectievelijk. Als $\angle PSR=\angle SPQ$, toon aan dat $PR=QS$.

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle gehele oplossingen voor
$$m^2+2m=n^4+20n^3+104n^2+40n+2003.$$

Vraag 3

Gegeven reële getallen $a,b$, vind het grootste reëel getal $c$ zodat
$$c\leq\max(ax+\frac1{ax},bx+\frac1{bx})$$
voor alle positieve $x$.

Vraag 4

$N$ verschillende natuurlijke getallen moeten gekozen worden uit $\{1,2,\ldots,2003\}$ zodat geen twee van de gekozen getallen een verschil hebben van 10.
a) Op hoeveel manieren kan dit gedaan worden voor $N=1003$?
b) Toon aan dat we dit op $(3\cdot5151+7\cdot1700)101^7$ manieren kunnen doen voor $N=1002$.