meetkundige ongelijkheid

De cruciale observatie is de volgende:
$(1-a)(1-b)(1-c) = 1 - (a+b+c) +ab+bc+ac - abc = -1 + ab + bc + ac - abc$
Trek vervolgens $1$ af van alle delen, we krijgen
\[0 \leq -1 + ab + bc + ac - abc \leq \frac{1}{27}\]
of
\[0 \leq (1-a)(1-b)(1-c) \leq \frac{1}{27}\]
Wegens de driehoeksongelijkheid hebben we $0 < a,b,c < 1$ en is de linkerongelijkheid duidelijk waar. We hoeven enkel de rechterongelijkheid te bewijzen.
Schrijf nu $a = x+y, b=y+z, c = x+z$ met $x+y+z = 1$ en $0 < x,y,z < 1$
We krijgen
\[(1-(x+y))(1-(y+z))(1-(x+z)) = xyz \leq \frac{1}{27}\]
wat duidelijk waar is wegens AM-GM