IrMO 1998

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Toon aan dat
$$x^8-x^5-\frac1x+\frac1{x^4}\geq0$$
voor alle $x\neq0$.

Vraag 2

$P$ is een punt binnen een gelijkzijdige driehoek. De afstanden van $P$ tot de drie hoekpunten zijn 3,4,5. Vind de oppervlakte van de driehoek.

Vraag 3 Opgelost!

Toon aan dat het getal $\overline{abab}$ van vier cijfers geen derdemacht kan zijn in basis 10. Vind de kleinste basis (groter dan 1) waar het wel een derdemacht kan zijn.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Toon aan dat 7 schijven met straal 1 een schijf met straal 2 kunnen bedekken.

Vraag 2

$x$ is een reëel getal en $x^n-x$ is een geheel getal voor $n=2$ en een $n>2$. Toon aan dat $x$ een geheel getal is.

Vraag 3 Opgelost!

Vind alle natuurlijke getallen $n$ met precies 16 positieve delers $1=d_1

Dag 3

Vraag 1 Opgelost!

Toon aan dat we voor positieve reële getallen $a,b,c$ hebben dat
$$\frac9{a+b+c}\leq\frac2{a+b}+\frac2{b+c}+\frac2{c+a}\leq\frac1a+ \frac1b+\frac1c.$$

Vraag 2 Opgelost!

Toon aan dat we $\mathbb N$ in drie disjuncte deelverzamelingen kunnen partitioneren zodat als $|m-n|=2$ of $5$, dan zitten $m$ en $n$ in verschillende deelverzamelingen. Toon aan dat we $\mathbb N$ in vier disjuncte deelverzamelingen kunnen partitioneren zodat als $|m-n|=2,3$ of $5$, dan zitten $m$ en $n$ in verschillende deelverzamelingen, maar dat dit niet mogelijk is met slechts drie disjuncte deelverzamelingen.

Vraag 3

De rij $x_0,x_1,x_2,\ldots$ wordt gedefinieerd door $x_0=a,x_1=b,x_{n+2}=(1+x_{n+1})/x_n$. Vind $x_{1998}$.

Vraag 4

Vind de kleinst mogelijke omtrek voor een driehoek $ABC$ met gehele zijden zodat $\angle A=2\angle B$ en $\angle C>90^\circ$.