16 delers

Opgave - IrMO 1998 dag 2 vraag 3

Vind alle natuurlijke getallen $n$ met precies 16 positieve delers $1=d_1

Oplossing

Er zijn maar zes delers van $18$, dus heeft $n$ geen andere delers kleiner dan 18 (in het bijzonder is $4\not|n$).
Daar er maar $16$ priemdelers zijn (en daar bij $n=2.3^7 3|d_9-d_8$) is $n\in\{2.3^3.p|p\text{ priem}\}$.

Stel dat $d_7\not=3^3$. Dan is het een priem $p$ met $27> p> 18$, dus $d_7\in\{19,23\}$.
Dan moet $d_8=27,d_9=2p$ maar dat geeft geen verschil van $17$. Dus is $d_7=3^3$.

Als $d_8$ priem is is $d_9=p=37$, als $d_8$ geen priem is, is $d_8=54$ en moet $d_9=p=71$.
Dus $n\in\{2.3^3.37,2.3^3.71\}$.