ongelijkheid

Opgave - IrMO 1998 dag 3 vraag 1

Toon aan dat we voor positieve reële getallen $a,b,c$ hebben dat
$$\frac9{a+b+c}\leq\frac2{a+b}+\frac2{b+c}+\frac2{c+a}\leq\frac1a+ \frac1b+\frac1c.$$

Oplossing

Beiden triviaal met AM-HM...

De linkerongelijkheid is equivalent met $$\frac{3}{\sum \displaystyle\frac{1}{a+b}} \leq \frac{2(a+b+c)}{3} = \frac{\sum (a+b)}{3}.$$

Om de rechterongelijkheid te bewijzen hoeven we enkel te bewijzen dat $$\frac{2}{a+b} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ \Longleftrightarrow \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \frac{a+b}{2}.$$