De linkerongelijkheid is equivalent met $$\frac{3}{\sum \displaystyle\frac{1}{a+b}} \leq \frac{2(a+b+c)}{3} = \frac{\sum (a+b)}{3}.$$
Om de rechterongelijkheid te bewijzen hoeven we enkel te bewijzen dat $$\frac{2}{a+b} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ \Longleftrightarrow \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \frac{a+b}{2}.$$
Oplossing
Beiden triviaal met AM-HM...
De linkerongelijkheid is equivalent met $$\frac{3}{\sum \displaystyle\frac{1}{a+b}} \leq \frac{2(a+b+c)}{3} = \frac{\sum (a+b)}{3}.$$
Om de rechterongelijkheid te bewijzen hoeven we enkel te bewijzen dat $$\frac{2}{a+b} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ \Longleftrightarrow \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \frac{a+b}{2}.$$