IrMO 1994
Dag 1
Vraag 1
$m$ en $n$ zijn natuurlijke getallen die voldoen aan $n>3$ en $m^2+n^4=2(m-6)^2+2(n+1)^2$. Bewijs dat $m^2+n^4=1994$.
Vraag 2
$B$ is een willekeurig punt op het lijnstuk $AC$. Gelijkzijdige driehoeken worden getekend zoals aangegeven op de figuur. Toon aan dat hun middens een gelijkzijdige driehoek vormen waarvan het midden op $AC$ ligt.
Vraag 3
Vind alle veeltermen $p(x)$ die voldoen aan $p(x^2)=p(x)p(x-1)$ voor alle $x$.
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
Een $n\times n$ matrix heeft alle elementen gelijk aan 0 of 1. Vind het aantal matrices met een even aantal enen in iedere rij en kolom.
Vraag 2
De rij $a_1,a_2,\ldots$ is gedefinieerd door $a_1=2,a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$. Toon aan dat $1/a_1+1/a_2+\cdots+1/a_n$ in het interval $\displaystyle{\left]1-\frac1{2^{2^{n-1}}},1-\frac1{2^{2^n}}\right[}$ ligt.
Vraag 3 Opgelost!
De rij $x_1,x_2,\ldots$ is gedefinieerd door $x_1=2,nx_n=2(2n-1)x_{n-1}$. Toon aan dat iedere term een geheel getal is.
Dag 3
Vraag 1
$p,q,r$ zijn verschillende reële getallen zodat $q=p(4-p),r=q(4-q),p=r(4-r)$. Vind alle mogelijke waarden van $p+q+r$.
Vraag 2
Bewijs dat $w,a,b,c$ zijn verschillende reële getallen zodat de vergelijkingen Een vierkant is verdeeld in $n$ convexe veelhoeken. Vind het maximum aantal zijden in de resulterende figuur. Je mag Euler's formule gebruiken voor een veelvlak: $V+F=E+2$, met $V$ het aantal hoekpunten, $F$ het aantal vlakken, $E$ het aantal zijden.
$$n(\sqrt[n]{(n+1)^2}-1)<\sum_1^n\frac{2i+1}{i^2}Vraag 3
$$x+y+z=1$$
$$xa^2+yb^2+zc^2=w^2$$
$$xa^3+yb^3+zc^3=w^3$$
$$xa^4+yb^4+zc^4=w^4$$
een reële oplossing $x,y,z$ hebben. Druk $w$ uit in termen van $a,b,c$.Vraag 4
