gehele rij

We zien inductief dat we voor $n \in \mathbb{N}$ hebben dat
$$
\begin{eqnarray*}
\centering
x_n & = & 2^{n} \cdot \prod_{i=1}^{n} \left( \frac{2n-(2i-1)}{n-(i-1)} \right) \\ & = & 2^{n} \cdot \prod_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{n-(i-1)} \right) \cdot \prod_{i=1}^{n} \left( 2n - (2i-1) \right) \\ & = & 2^n \cdot \frac{1}{n!} \cdot \frac{(2n-1)!}{2^{n-1} (n-1)!} \\ & = & 2 \cdot \frac{(2n-1)!}{n! (n-1)!}. \end{eqnarray*}$$
Omdat $\frac{(2n-1)!}{n! (n-1)!}= \binom{2n-1}{n}$ is bijgevolg $x_n = 2 \cdot \binom{2n-1}{n} \in \mathbb{Z}. \quad \blacksquare$