CanMO 1998

Vraag 1

Bepaal het aantal reële oplossingen $a$ van de vergelijking
$$\left\lfloor\frac12a\right\rfloor+\left\lfloor\frac13a\right\rfloor+\left\lfloor \frac15a\right\rfloor=a.$$

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle reële getallen $x$ zodat
$$x=\sqrt{x-\frac1x}+\sqrt{1-\frac1x}.$$

Vraag 3 Opgelost!

Zij $n$ een natuurlijk getal groter dan 1. Toon aan dat
$$\frac1{n+1}\left(1+\frac13+\cdots+\frac1{2n-1}\right)>\frac1n\left(\frac12 +\frac14+\cdots+\frac1{2n}\right).$$

Vraag 4

Zij $ABC$ een driehoek met $\angle BAC=40^\circ$ en $\angle ABC=60^\circ$. Zij $D$ en $E$ de punten op de respectievelijke zijden $AC$ en $AB$ zodat $\angle CBD=40^\circ$ en $\angle BCE=70^\circ$. Noem $F$ het snijpunt van de rechten $BD$ en $CE$. Toon aan dat $AF$ loodrecht staat op $BC$.

Vraag 5

Zij $m$ een natuurlijk getal. Definieer de rij $a_0,a_1,a_2,...$ door $a_0=0,\ a_1=m$, en $a_{n+1}=m^2a_n-a_{n-1}$ voor $n=1,2,3,...$. Bewijs dat een geordend koppel $(a,b)$ van natuurlijke getallen, met $a\leq b$, een oplossing geeft tot de vergelijking
$$\frac{a^2+b^2}{ab+1}=m$$
als en slechts als $(a,b)$ van de vorm $(a_n,a_{n+1}$ voor een zekere $n\geq0$.