CanMO 1988

Vraag 1 Opgelost!

Voor welke waarden van $b$ hebben de vergelijkingen $1988x^2+bx+8891=0$ en $8891x^2+bx+1988=0$ een gemeenschappelijke wortel?

Vraag 2

Een huis in de vorm van een driehoek heeft omtrek $P$ meter en oppervlakte $A$ vierkante meter. De tuin bestaat uit al het land in een omtrek van 5 meter rond het huis. Hoeveel land beslaan het huis en de tuin samen?

Vraag 3

Veronderstel dat $S$ een eindige verzameling is van minstens 5 punten in het vlak, waarvan sommige rood zijn gekleurd, en andere blauw. Geen enkele deelverzameling van drie of meer punten van dezelfde kleur zijn collineair. Toon aan dat er een driehoek is met
(i) al zijn hoekpunten in dezelfde kleur, en
(ii) op zijn minst één zijde van de driehoek bevat geen punt van de andere kleur.

Vraag 4 Opgelost!

Zij $x_{n+1}=4x_n-x_{n-1},x_0=0,x_1=1$, en $y_{n+1}=4y_n-y_{n-1},y_0=1,y_1=2$. Toon aan dat voor alle natuurlijke getallen $n$ geldt dat $y_n^2=3x_n^2+1$.

Vraag 5

Zij $S=\{a_1,a_2,...,a_r\}$ een verzameling van gehele getallen. Voor ieder niet-lege deelverzameling $A$ van $S$ definiëren we met $p(A)$ het product van alle gehele getallen in $A$. Zij $m(S)$ het rekenkundig gemiddelde van $p(A)$ over alle niet-lege deelverzamelingen $A$ van $S$. Als $m(S)=13$ en als $m(S\cup\{a_{r+1}\})=49$ voor een natuurlijk getal $a_{r+1}$, bepaal dan alle waarden van $a_1,a_2,...,a_r$ en $a_{r+1}$.