rij

De karakteristieke vergelijking van de rij $(x_n)$ is $r^2-4r+1=0$. Dit geeft ons de oplossingen $r_1=2+\sqrt{3}$ en $r_2=2-\sqrt{3}$. Nu weten we dat $x_0=A+B$ en $x_1=Ar_1+Br_2$. Hieruit vinden we dat $A=\frac{\sqrt{3}}{6}$ en $B=-\frac{\sqrt{3}}{6}$. Dit geeft ons het voorschrift $x_n=\frac{\sqrt{3}}{6}\Big((2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n\Big)$.

De karakteristieke vergelijking van de rij $(y_n)$ is $u^2-4u+1=0$. Deze vergelijkingen heeft als oplossingen $u_1=2+\sqrt{3}$ en $u_2=2-\sqrt{3}$. We weten dat $y_0=C+D$ en $y_1=Cu_1+Du_2$. Dit stelsel geeft ons $C=D=\frac{1}{2}$. Dit geeft ons het voorschrift $y_n=\frac{1}{2}\Big((2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n\Big)$.

Nu is
\begin{align*}
y_n^2=\frac{1}{4}\Big((7+4\sqrt{3})^n+2+(7-4\sqrt{3})^n\Big)
\end{align*}
en
\begin{align*}
3x_n^2+1&=3\cdot\frac{3}{36}\Big((7+4\sqrt{3})^n-2+(7-4\sqrt{3})^n\Big)+1\\
&=\frac{1}{4}\Big((7+4\sqrt{3})^n+2+(7-4\sqrt{3})^n\Big)
\end{align*}
Dus $y_n^2=3x_n^2+1$.