CanMO 1986

Vraag 1

Op de tekening hebben lijnstukken $AB$ en $CD$ beide lengte 1, terwijl de hoeken $ABC$ en $CBD$ $90^\circ$ en $30^\circ$ respectievelijk zijn. Vind $AC$.

Vraag 2 Opgelost!

Een Wiskatlon is een competitie waarin er $W$ atletische evenementen zijn. Zo'n competitie werd gehouden waarin enkel spelers $A,B,C$ meededen. In ieder evenement werden $p_1$ punten gegeven voor de eerste plaats, $p_2$ voor de tweede plaats, en $p_3$ voor de derde plaats, met $p_1>p_2>p_3>0$ en alle $p_i$ natuurlijke getallen. Er was geen gelijkspel. De uiteindelijke score voor $A$ was 22, voor $B$ 9, en voor $C$ ook 9. $B$ won de 100 meter. Wat is de waarde van $W$ en wie was er tweede in het hoogspringen?

Vraag 3

Een koorde $ST$ van constante lengte glijdt rond een halve cirkel met diameter $AB$. $M$ is het midden van $ST$ en $P$ is het voetpunt van de loodrechte uit $S$ op $AB$. Bewijs dat de hoek $SPM$ constant is voor alle posities van $ST$.

Vraag 4

Voor natuurlijke getallen $n,k$ definiëren we $\displaystyle{F(n,k)=\sum_{r=1}^nr^{2k-1}}$. Bewijs dat $F(n,1)|F(n,k)$.

Vraag 5

Zij $u_1,u_2,u_3,...$ een rij van natuurlijke getallen die voldoet aan de recurrente betrekking $u_{n+2}=u_{n+1}^2-u_n$. Stel dat $u_1=39$ en $u_2=45$. Bewijs dat 1986 oneindig veel termen van de rij deelt.