wiskatlon
Opgave - CanMO 1986 vraag 2
Een Wiskatlon is een competitie waarin er $W$ atletische evenementen zijn. Zo'n competitie werd gehouden waarin enkel spelers $A,B,C$ meededen. In ieder evenement werden $p_1$ punten gegeven voor de eerste plaats, $p_2$ voor de tweede plaats, en $p_3$ voor de derde plaats, met $p_1>p_2>p_3>0$ en alle $p_i$ natuurlijke getallen. Er was geen gelijkspel. De uiteindelijke score voor $A$ was 22, voor $B$ 9, en voor $C$ ook 9. $B$ won de 100 meter. Wat is de waarde van $W$ en wie was er tweede in het hoogspringen?
- login om te reageren
Oplossing
we weten dat $W(p_1+p_2+p_3)=22+9+9=40$. we weten dat alle termen aan de linkerkant natuurlijk zijn, dus W=1,2,4,5,10,20 of 40. $p_1+p_2+p_3=\frac{40}{W}$, en hierbij is $p_1+p_2+p_3$ minimaal 6 (gegeven), dus $W\leq 5$. W is ook niet 1 (gegeven).
$W=2$ geeft dat $9=p_1+p_3$ en $22=p_1+p_2$ (anders heeft B meer punten). hieruit volgt $p_2-p_3=13$. hetgeen absurd is, want C is ook eenmaal 2e, en $13>9$.
$W=4$ impliceert voor B dat $p_1+3p_3\leq 9$ dus $p_1\leq 6$. voor A klopt het dat $3p_1+p_2\geq 22$, met het vorige geeft dat dat $p_2\geq 4$. omdat $p_1+p_2+p_3=10$ moet $(p_1,p_2,p_3)=(1,4,5)$ maar dat is een contradictie met $3p_1+p_2\geq 22$ voor A.
$W=5$ geeft B minimaal $p_1+4p_3\leq 9$ punten. dat kan enkel als $p_3=1$ ($p_1\geq 3$). dit geeft $p_1\leq 5$. aangezien voor A geldt $4p_1+p_2\geq 22$ moet dan $p_1=5$ en $p_2=2$. geen contradictie, dus $W=5$.
er volgt uit de waardes van $p_i$ dat A 4x 1e was en 2e bij de 100m sprint, B 1e bij de 100 m sprint en 4 keer 3e. C was 1 keer 3e en 4 keer 2e. dus C haalde de tweede plak bij het hoogspringen.