CanMO 1984

Vraag 1 Opgelost!

Bewijs dat de som van de kwadraten van 1984 opeenvolgende natuurlijke getallen geen volkomen kwadraat kan zijn.

Vraag 2

Alice en Bob staan in een grootwarenhuis. Ze verkopen er gekleurde hoesjes om over sleutels te trekken om ze gemakkelijker te herkennen. Het volgend gesprek vindt plaats:
Alice: Ga je je sleutels markeren?
Bob: Ik zou wel willen, maar ik heb 8 sleutels en er zijn maar 7 kleuren.
Alice: Ja, maar je zou altijd een sleutel kunnen onderscheiden door op te merken dat bijvoorbeeld de rode naast de groene verschillend is van de rode naast de blauwe.
Bob: Je moet opletten met de term ``naast'' of ``drie sleutels weg van''! De sleutels hangen immers aan een ring, en je kan ze in een cirkel doordraaien.
Alice: Dan nog heb je geen acht kleuren nodig.

Probleem: Wat is het kleinst aantal benodigde kleuren om $n$ sleutels te markeren als ze allemaal een kleur moeten krijgen?

Vraag 3 Opgelost!

Een natuurlijk getal is \emph{cijferig deelbaar} als
(i) geen enkel van zijn cijfers 0 is;
(ii) het deelbaar is door de som van zijn cijfers (zo is bijvoorbeeld 322 cijferig deelbaar).
Toon aan dat er oneindig veel getallen cijferig deelbaar zijn.

Vraag 4

Een scherphoekige driehoek heeft oppervlakte 1. Toon aan dat er een punt binnen de driehoek ligt zodat de afstand tot tot ieder hoekpunt minimum $\frac2{\sqrt[4]{27}}$ is.

Vraag 5 Opgelost!

Bewijs dat er van zeven reële getallen twee getallen $x,y$ zijn waarvoor geldt dat
$$0\leq\frac{x-y}{1+xy}\leq\frac1{\sqrt3}.$$