cijferig deelbare getallen

We tonen aan dat als er een cijferig deelbaar getal k bestaat, dat we dan telkens een cijferig deelbaar getal groter dan k kunnen vinden zodat er inderdaad oneindig veel zijn.

Stel dat $k$ P cijfers heeft, cijferig deelbaar is en cijfersom $c$ heeft. Dan zullen we aantonen dat het getal $n$ verkregen door k 3 keer achter elkaar te schrijven ook cijferig deelbaar is.
Immers, de cijfersom van n is $3\cdot c$ (3 keer de cijfersom van k) en wegens de definitie van n geldt

$n = k \cdot (10^2P + 10^P + 1) $

wat duidelijk deelbaar is door 3×c aangezien (10^2P + 10^P + 1) deelbaar is door 3 en k deelbaar is door c vanwege de aanname.
Ook zijn er zeker geen nullen in de decimale schrijfwijze van n, aangezien $k$ exact $P$ cijfers heeft, waarvan er geen nul was.