ongelijkheid

Zij $A=\{a_1,a_2,\dots,a_7\}$ een verzameling van reëele getallen. We kunnen $B=\{b_1,\dots,b_7\}$ definiëren als de unieke verzameling van getallen waarvoor geldt dat $\tan(b_i)=a_i$ en $b_i\in[-\pi/2,\pi/2]$. Welnu, de lengte van dit laatste interval is gelijk aan $\pi$, dus als we het in zes stukken verdelen van lengte $\pi/6$, zullen er altijd twee getallen $b_m$ en $b_n$ zijn met $0 \le b_m-b_n\le\pi/6$. Als we nu de tangens nemen van beide leden (dit mag, want deze functie is stijgend over het betrokken interval) en als we indachtig zijn dat $$\tan(b_m-b_n)=\frac{\tan(b_m)-\tan(b_n)}{1+\tan(b_m)\tan(b_n)}=\frac{a_m-a_n}{1+a_ma_n}$$
Zijn we eigenlijk klaar, daar $\tan(0)=0$ , $\tan(\pi/6)=\frac{1}{\sqrt{3}}$ en de tangensfunctie een stijgende functie is. $\Box$