CanMO 1978

Vraag 1 Opgelost!

Zij $n$ een natuurlijk getal met cijfer van de tientallen van $n^2$ gelijk aan 7. Wat is het cijfer van de eenheden van $n^2$?

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle koppels $(a,b)$ van natuurlijke getallen die voldoen aan $2a^2=3b^3$.

Vraag 3 Opgelost!

Bepaal het grootste reële getal $z$ zodat
$$x+y+z=5$$
$$xy+yz+zx=3$$
en $x,y$ ook reële getallen zijn.

Vraag 4

De zijden $AD$ en $BC$ van de convexe vierhoek $ABCD$ worden verlengd zodat ze elkaar snijden in $E$. Zij $H$ en $G$ de middens van de $BD$ en $AC$ respectievelijk. Vind de verhouding van de oppervlakte van de driehoek $EHG$ tot de oppervlakte van de vierhoek $ABCD$.

Vraag 5 Opgelost!

Eva en Odette spelen een spelletje op een 3x3 dambord, met zwarte en witte pionnen. De spelregels zijn als volgt:
(i) Ze spelen elk om beurt.
(ii) Een beurt bestaat erin om een pion op een onbezet vakje op het bord te plaatsen.
(iii) In een beurt mag een speler een witte of een zwarte pion kiezen, en moet niet altijd hetzelfde kleur gebruiken.
(iv) Wanneer het bord vol is, krijgt Eva één punt voor iedere rij, kolom en diagonaal waar zich een even aantal zwarte pionnen bevinden, en Odette krijgt één punt voor iedere rij, kolom en diagonaal waar zich een oneven aantal zwarte pionnen in bevinden.
(v) De speler die minstens vijf van de acht punten heeft wint.
(a) Is een 4-4 gelijkspel mogelijk? Leg uit.
(b) Beschrijf een winnende strategie voor het meisje dat mag beginnen.

Vraag 6

Schets de grafiek van $x^3+xy+y^3=3$.