diophantische vergelijking

Modulo 2, modulo 3; $a$ is een drievoud, $b$ is een tweevoud. Dus $a = 3a'$, $b=2b'$ met $a',b'\in\mathbb{N}$. Vergelijking wordt dan $3(a')^2 = 4(b')^3$.

Modulo 2, modulo 3; $a'$ is een tweevoud, $b'$ is een drievoud. Dus $a' = 2x$, $b' = 3n$ met $x,n\in\mathbb{N}$. Vergelijking wordt dan $x^2 = 9n^3$.

Modulo 3; $x$ is een drievoud. Dus $x = 3m$ met $m\in\mathbb{N}$. Vergelijking wordt dan $m^2 = n^3$.

Ter herinnering: $a = 3a' = 6x = 18m$ en $b = 2b' = 6n$.

Opdat $m^2 = n^3$, moet $m$ een "volkomen derdemacht" zijn en $n$ een volkomen kwadraat. Schrijf dus $m = p^3$ en $n = q^2$. Dan is $p = \sqrt[3]{m} = \sqrt[6]{m^2} = \sqrt[6]{n^3} = \sqrt{n} = q$, dus $m = p^3$ en $n = p^2$, voor een zekere $p\in\mathbb{N}$.

Bijgevolg zijn alle oplossingen van de vorm $(a,b) = \left(18p^3,6p^2\right)$, met $p\in\mathbb{N}$.