CanMO 1977

Vraag 1 Opgelost!

Als $f(x)=x^2+x$, bewijs dan dat de vergelijking $4f(a)=f(b)$ geen oplossing heeft in natuurlijke getallen $a,b$.

Vraag 2

Zij $O$ het midden van een cirkel, en $A$ een vast punt binnen de cirkel verschillend van $O$. Bepaal alle punten $P$ op de omtrek van de cirkel zodat $\angle OPA$ maximaal is.

Vraag 3 Opgelost!

$N$ is een natuurlijk getal waarvan de representatie in basis $b$ 777 is. Vind het kleinst mogelijk getal $b$ zodat $N$ de vierde macht van een natuurlijk getal is.

Vraag 4

Zij
$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$
en
$$q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0$$
twee veeltermen met gehele coëfficiënten. Veronderstel dat alle coëfficiënten van het product $p(x)\cdot q(x)$ even zijn, maar niet allen deelbaar door 4. Toon aan dat in één van de twee veeltermen alle coëfficiënten even zijn, en de ander op zijn minst één oneven heeft.

Vraag 5 Opgelost!

Een rechte kegel met straal van het grondvlak 1 en schuine hoogte 3 is gegeven. $P$ is een punt op de omtrek van het grondvlak van de kegel en de kortste weg van $P$ rond de kegel en terug is getekend op de figuur. Wat is de minimumafstand van de top $V$ tot deze weg?

Vraag 6 Opgelost!

Zij $0\le u \le 1$ en definieer
$$u_1=1+u,\ u_2=\frac1{u_1}+u,\ ...,\ u_{n+1}=\frac1{u_n}+u,\ n\geq1.$$
Toon aan dat $u_n>1$ voor alle waarden van $n=1,2,3,...$.

Vraag 7

Een rechthoekige stad is $m$ blokken lang en $n$ blokken breed (zie afbeelding). Een vrouw woont in de zuidwest hoek van de stad en werkt in de noordoost hoek. Iedere dag wandelt ze naar haar werk maar op iedere trip zorgt ze ervoor dat haar pad geen twee keer over hetzelfde kruispunt gaat. Toon aan dat het aantal $f(m,n)$ verschillende wegen die ze naar haar werk kan nemen voldoet aan $f(m,n)\leq2^{mn}$.