kegel
Opgave - CanMO 1977 vraag 5
Een rechte kegel met straal van het grondvlak 1 en schuine hoogte 3 is gegeven. $P$ is een punt op de omtrek van het grondvlak van de kegel en de kortste weg van $P$ rond de kegel en terug is getekend op de figuur. Wat is de minimumafstand van de top $V$ tot deze weg?
- login om te reageren
Oplossing
Zij $R$ het punt op het grondvlak zodat $PR$ een diameter is van die cirkel, en zij $Q$ het punt op de lijn $RV$ dat de cirkel snijdt.
Projecteren we onze situatie op het vlak $PRV$, dan krijgen we een driehoek $\triangle PVR$ met zijden $3,3,2$, en is de afstand $PQ$ minimaal als we in $Q$ een rechte hoek hebben.
De stelling van Pyhtagoras geeft ons dan twee vergelijkingen: $3^2=PQ^2+VQ^2$ en $2^2=PQ^2+(3-VQ)^2$, waaruit $VQ=\frac73$.