vierde macht

Opgave - CanMO 1977 vraag 3

$N$ is een natuurlijk getal waarvan de representatie in basis $b$ 777 is. Vind het kleinst mogelijk getal $b$ zodat $N$ de vierde macht van een natuurlijk getal is.

Oplossing

$N=7b^2 +7b+7 =7(b^2 +b+1)$, dit moet een 4demacht zijn en dus is $b^2 +b+1$ een $7^3$-voud want $b$ is een natuurlijk getal en $7$ is priem, $b^2+b+1=7^3$ is echter mogelijk als $b=18$, het was een natuurlijk getal en omdat het onmogelijk 0 kan zijn, is $b=18$ het kleinst mogelijk getal.