rij

We zullen per inductie bewijzen dat voor elke $n \ge 1$ geldt dat $\frac{1}{1-u} > U_n > 1$
.

Inductiebasis (IB): Het is waar voor $n=1$, want $U_1=1+u$ en $1>u>0$ en $\frac{1}{1-u} > 1+u > 1$.
De ondergrens volgt net uit $u>0$ en de bovengrens is equivalent met $1 > (1+u)(1-u)=1-u^2 \Leftrightarrow u^2>0,$ hetgeen ook waar is net omdat $u>0.$

Inductiehypothese (IH): Er geldt dat $\frac{1}{1-u} > U_n > 1.$

Inductiestap (IS):
We zullen bewijzen dat $\frac{1}{1-u} > U_{n+1} > 1$ wanneer de inductiehypothese geldt.
Hierbij is $U_{n+1}=u+\frac{1}{U_n}$.
We bewijzen hiervoor beide ongelijkheden.

Merk op dat uit $U_n \ge 1$ (wegens IH) volgt dat
$$\frac{1}{U_n}\le 1 \Rightarrow U_{n+1}=u+\frac{1}{U_n}\le u+1<\frac{1}{1-u}.$$

Uit $\frac{1}{1-u} > U_n $ halen we dan weer dat $\frac{1}{U_n} > 1-u$ en dus
$$U_{n+1}=u+\frac{1}{U_n}>u+1-u=1.$$

Bijgevolg zijn beide gelijkheden bewezen.

Daar inductiebasis en inductiestap gelden, geldt met volledige inductie dat de inductiehypothese waar is voor elk natuurlijk getal $n \ge 1.$