CanMO 1976

Vraag 1 Opgelost!

Als je vier gewichten hebt in een meetkundige rij en een balans die gewichten kan vergelijken, toon dan aan hoe je het zwaarste gewicht kan vinden door de balans slechts tweemaal te gebruiken.

Vraag 2

Zij
$$n(n+1)a_{n+1}=n(n-1)a_n-(n-2)a_{n-1}$$
voor ieder natuurlijk getal $n\geq1$.
Als gegeven is dat $a_0=1,a_1=2$, vind dan
$$\frac{a_0}{a_1}+\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots\frac{a_50} {a_51}.$$

Vraag 3 Opgelost!

Twee leerlingen uit het vijfde jaar mochten meedoen in een schaaktornooi dat voor de rest bestond uit enkel leerlingen van het zesde jaar. Iedere deelnemer speelde precies 1 maal met iedere andere deelnemer en kreeg 1 punt als hij of zij won, een half punt bij gelijkspel en 0 punten bij verlies. De twee leerlingen uit het vijfde jaar scoorden samen acht punten en iedere leerling uit het zesde scoorde evenveel punten als zijn leeftijdsgenoten. Hoeveel leerlingen uit het zesde jaar deden mee aan dit tornooi? Is de oplossing uniek?

Vraag 4

Zij $AB$ een diameter van een cirkel, $C$ een vast punt op het lijnstuk $AB$ en $Q$ een variabel punt op de omtrek van de cirkel. Zij $P$ het punt op de rechte $QC$ waarvoor geldt dat $\frac{AC}{CB}=\frac{QC}{CP}$. Omschrijf, met bewijs, de meetkundige plaats van $P$.

Vraag 5 Opgelost!

Bewijs dat een natuurlijk getal de som is van minimum twee opeenvolgende getallen als en slechts als dat getal geen macht van 2 is.

Vraag 6 Opgelost!

Als $A,B,C,D$ vier punten in de ruimte voorstellen waarvoor geldt dat
$$\angle ABC=\angle BCD=\angle CDA=\angle DAB=\frac\pi2,$$
bewijs dan dat $A,B,C,D$ coplanair zijn.

Vraag 7 Opgelost!

Zij $P(x,y)$ een veelterm in twee variabelen $x,y$ zodat $P(x,y)=P(y,x)$ voor iedere $x,y$. Als gegeven is dat $(x-y)$ een factor is van $P(x,y)$, toon dan aan dat $(x-y)^2$ een factor is van $P(x,y)$.

Vraag 8

Elk van de 36 lijnstukken die 9 verschillende punten op de omtrek van een cirkel verbinden zijn ofwel blauw ofwel rood gekleurd. Veronderstel dat iedere driehoek die bepaald wordt door 3 van die 9 punten op zijn minst 1 rode zijde heeft. Bewijs dat er vier punten zijn zodanig dat de 6 segmenten die hen verbinden allemaal rood zijn.