veelterm
Opgave - CanMO 1976 vraag 7
Zij $P(x,y)$ een veelterm in twee variabelen $x,y$ zodat $P(x,y)=P(y,x)$ voor iedere $x,y$. Als gegeven is dat $(x-y)$ een factor is van $P(x,y)$, toon dan aan dat $(x-y)^2$ een factor is van $P(x,y)$.
- login om te reageren
Oplossing
Voor een zekere veelterm in twee veranderlijken $T_1$ geldt $P(x,y)=(x-y) \cdot T_1 (x,y)$. Dus $P(y,x)=(y-x) \cdot T_1 (y,x)$. Omdat deze gelijk zijn is $(y-x) \cdot \left(T_1 (x,y) + T_1 (y,x) \right)=0$ voor alle $x,y$. Dus zal voor alle $x,y$ met $x\not= y$ gelden dat $T_1 (x,y)=-T_1 (y,x)$. Omwille van continuïteit zal echter ook $T_1 (x,x)=-T_1 (x,x)$ voor alle $x$ moeten. Dus $T_1 (x,x)=0$, en omdat $T_1$ een veelterm is bestaat er dan een veelterm in twee veranderlijken $T_2$ zodat $T_1 (x,y)=(x-y) \cdot T_2 (x,y)$. Dus $P(x,y)=(x-y)^2 \cdot T_2 (x,y)$. $\blacksquare$