vier gewichten

Opgave - CanMO 1976 vraag 1

Als je vier gewichten hebt in een meetkundige rij en een balans die gewichten kan vergelijken, toon dan aan hoe je het zwaarste gewicht kan vinden door de balans slechts tweemaal te gebruiken.

Oplossing

We voeren een nieuw weegsysteem in waarbij het kleinste gewicht de eenheid is. We mogen dan veronderstellen dat onze gewichten $1$, $a$, $a^2$ en $a^3$ eenheden wegen, waarbij $a > 1$. We verdelen de vier gewichten in twee groepen van twee en plaatsen elke groep op een arm van de balans. Omdat $a^3+a^2 > a+1$, $a^3+a > a^2+1$ en $a^3+1 > a^2+a$ (dezen zijn equivalent met $(a+1)^2(a-1) > 0$, $(a-1)(a^2+1) > 0$ en $(a-1)^2(a+1) > 0$, resp.), zal bij elke verdeling in twee groepen steeds de arm met het zwaarste gewicht het meest doorzakken. Er rest ons nu enkel nog de twee gewichten uit deze groep te wegen om te zien welk het zwaarst is.