schaaktornooi

Antwoord:
Er zijn twee oplossingen, namelijk $n = 7$ of $n = 14$.

Bewijs:
Stel dat het aantal leerlingen uit het zesde $n$ is, dan is het totaal aantal leerlingen $n+2$, en dan is het totaal aantal gespeelde matchen $\binom{n+2}{2} = \frac{n^2+3n+2}{2}$. Aangezien er per match precies $1$ punt verdeeld wordt, is het totaal aantal behaalde punten ook hieraan gelijk. Hiervan werden er $8$ behaald door de leerlingen uit het vijfde, zodat de leerlingen uit het zesde samen precies $\frac{n^2+3n-14}{2}$ punten behaalden. Aangezien deze $n$ leerlingen allemaal hetzelfde scoorden, is voor hen deze score per persoon $s_n = \frac{n^2+3n-14}{2n} = \frac{n+3-\frac{14}{n}}{2}$. Deze score moet (met $n>0$) bovendien een natuurlijk veelvoud zijn van $\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{14}{n} \in \mathbb{N} \Rightarrow n|14 \Rightarrow n \in \left \{ 1,2,7,14 \right \}$.
$n=1$ of $n=2$ levert een negatieve $s_n$ en vervallen, blijven over $(n, s_n) \in \left \{ \left ( 7,4\right ),\left ( 14,8 \right ) \right \}$.
Het eerste geval is een geldige mogelijkheid, want het doet zich bijvoorbeeld voor als alle uitslagen gelijkspel zijn, en vermits het aantal matchen per persoon $m_n =n+1 = 8$, haalt dan iedereen inderdaad $4$ punten.
Het tweede geval is ook een geldige mogelijkheid, want het doet zich bijvoorbeeld voor als alle uitslagen als volgt zijn:
- 6dejaars onderling allemaal gelijkspel;
- Voor de $14$ zesdejaars geldt:
- er zijn er precies $7$ die tegen de eerste vijfdejaars A winnen, en tegen de andere vijfdejaars B gelijkspel;
- de andere $7$ die tegen de tweede vijfdejaars B winnen, en tegen de andere vijfdejaars A gelijkspel.
- 5dejaars onderling maakt niet uit.
Hierbij behalen de zesdejaars elk $13 \cdot \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 8$, en de vijfdejaars behalen samen $1 + 2 \cdot \left(7\cdot 0 + 7\cdot \frac{1}{2}\right)=8$.