CanMO 1974

Vraag 1 Opgelost!

(i) Als $x=(1+\frac1n)^n$ en $y=(1+\frac1n)^{n+1}$, toon dan aan dat $y^x=x^y$.
(ii) Toon aan dat voor alle natuurlijke getallen $n$ geldt:
$$1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^n(n-1)^2+(-1)^{n+1}n^2=(-1)^{n+1}(1+2 +\cdots+n).$$

Vraag 2 Opgelost!

Zij $ABCD$ een rechthoek met $BC=3AB$. Toon aan dat als $P$ en $Q$ punten zijn op de zijde $BC$ met $BP=PQ=QC$, dat dan
$$\angle DBC+\angle DPC=\angle DQC.$$

Vraag 3 Opgelost!

Zij
$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$$
een veelterm met coëfficiënten die voldoen aan volgende voorwaarden:
$$0\leq a_i\leq a_0,\ \ i=1,2,...,n.$$
Zij $b_0,b_1,...,b_{2n}$ de coëfficiënten van de veelterm
$$\begin{eqnarray}
f(x))^2 &=& (a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)^2 \nonumber \\
&=& b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{n+1}x^{n+1}+\cdots+b_{2n}x^{2n}. \nonumber
\end{eqnarray}$$
Bewijs dat
$$b_{n+1}\leq \frac12(f(1))^2.$$

Vraag 4

Zij $n$ een vast natuurlijk getal, en zij $x_i,\ i=1,..,n$ reële getallen in $[0,1]$.

Wat is de grootst mogelijke waarde van $S(n) = \sum_{1\le i,j\le n}|x_i-x_j|$?

Vraag 5

Gegeven is een cirkel met diameter $AB$ en een punt $X$ op de cirkel verschillend van $A$ en $B$. Teken $t_a,t_b,t_x$, die de raaklijnen zijn aan de cirkel in respectievelijk $A,B,X$. Zij $Z$ het snijpunt van $AX$ en $t_b$ en $Y$ het snijpunt van $BX$ en $t_a$. Toon aan dat de drie rechten $YZ, t_x$ en $AB$ ofwel concurrent zijn, ofwel parallel.

Vraag 6 Opgelost!

Een onuitputbare voorraad van postzegels van 8 cent en van 15 cent zijn voorhanden. Sommige waarden kunnen met deze twee postzegels niet bereikt worden (bijvoorbeeld 7 cent, of 29 cent). Wat is het grootste onbereikbare bedrag met deze twee postzegels? Verklaar je antwoord.

Vraag 7

Een busroute bestaat uit een cirkelvormig parcours van 10 meter diameter en een recht stuk weg van 1 kilometer die van de terminus tot aan een punt $Q$ van de cirkel loopt. Twee bussen volgen dit traject, en ze doen elk 20 minuten over een enkele trip. Bus 1 vertrekt vanuit de terminus en reist via het rechte stuk weg, volgt de cirkelvormige route éénmaal met de wijzers van de klok mee, en neemt dan weer het recht stuk weg naar de terminus. Bus 2, die 10 minuten later aan de terminus komt dan Bus 1 volgt een gelijkaardige route maar doet het ronde stuk tegenwijzerzin. Beide bussen rijden continu en stoppen nergens, tenzij voor een verwaarloosbare tijd om passagiers op en af te laten stappen.
Een man besluit te wachten op een punt $P$, dat $x$ kilometer ($0\leq x\leq12$) van de terminus volgens de route van Bus 1 en hij wil naar de terminus geraken met één van deze bussen. In de veronderstelling dat hij opstaat op de bus die hem het vroegst naar zijn bestemming zal brengen, is er een maximumtijd $w(x)$ die zijn reis kan aannemen (wachttijd plus reistijd).
Vind $w(2)$; vind $w(4)$.
Voor welke waarde van $x$ zal $w(x)$ het langst zijn?
Teken de grafiek van $y=w(x)$ voor $0\leq x\leq12$.