veelterm
Opgave - CanMO 1974 vraag 3
Zij
$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$$
een veelterm met coëfficiënten die voldoen aan volgende voorwaarden:
$$0\leq a_i\leq a_0,\ \ i=1,2,...,n.$$
Zij $b_0,b_1,...,b_{2n}$ de coëfficiënten van de veelterm
$$\begin{eqnarray}
f(x))^2 &=& (a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)^2 \nonumber \\
&=& b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{n+1}x^{n+1}+\cdots+b_{2n}x^{2n}. \nonumber
\end{eqnarray}$$
Bewijs dat
$$b_{n+1}\leq \frac12(f(1))^2.$$
- login om te reageren
Oplossing
Stel $f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_{i} x^{i}$. Om de coëfficient $b_{n+1}$ in de veelterm $f^{2} (x) = \left(\sum_{k=0}^{n} a_{i} x^{i} \right) \cdot \left(\sum_{k=0}^{n} a_{i} x^{i} \right)$ te berekenen, beschouwen we alle coëfficienten $a_i a_j$ van de vermenigvuldigingen $x^{i} x^{j}$ waarvoor geldt dat $x^{i} x^{j} = x^{n+1}$. Noteer $(x,y)=a_{x} a_{y}$ voor gehele $x,y$. Dan krijgen we eenvoudigweg
$$\begin{eqnarray*} b_{n+1} & = & (1,n) + (2,n-1) + (3,n-2) + \ldots + (n-2,3) + (n-1,2) + (n,1) \\ & = & a_{1} a_{n} + a_{2} a_{n-1} + \ldots + a_{n-1} a_{2} + a_{n} a_{1}. \end{eqnarray*}$$
We hebben nu
$$ \begin{eqnarray*} (f(1))^{2} & = & (a_{0} + a_{1} + \ldots + a_{n})^{2} \\ & = & 2a_{0} (a_1 + \ldots + a_n) + a_{0}^{2} + (a_1 + \ldots + a_n)^{2} \\ & \geq & 2 a_0 a_1 + 2 a_0 a_2 + \ldots + 2 a_0 a_n \\ & \geq & 2 a_n a_1 + 2a_{n-1} a_2 + \ldots + 2 a_1 a_n \\ & = & 2 (a_{1} a_{n} + a_{2} a_{n-1} + \ldots + a_{n-1} a_{2} + a_{n} a_{1}) \\ &=& 2 b_{n+1}. \quad \blacksquare \end{eqnarray*} $$