x^y=y^x

oplossing voor I:
merk op dat $y = x * (1+\frac{1}{n})$

$1+ \frac{1}{n} = \sqrt[n]{(1+ \frac{1}{n})^n} = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$
$\Leftrightarrow (1+ \frac{1}{n})*x = x^{1+\frac{1}{n}}$
$\Leftrightarrow \Big((1+ \frac{1}{n})*x\Big)^x = x^{x(1+\frac{1}{n})}$
$\Leftrightarrow y^x = x^y $
$\Box$

oplossing voor II:

we lossen de opgave op met inductie naar $n$.

inductiebasis: voor 1 geldt de uitspraak want $1^2 = 1(-1)^2 = 1$
inductiehypothese: stel dat de uitspraak geldt voor $n>1$, dan tonen we aan dat de stelling ook klopt voor een zekere $k = n + 1$:

$1^2-2^2+\ldots+(-1)^{n+1}n^2 + (-1)^{n+2}(n+1)^2 = (-1)^{n+1}(1+2+\ldots+n) + (-1)^{n+2}(n+1)^2$

$= (-1)^{n+2}\Big(-1^{-1}(1+2+\ldots+n) + (n+1)^2\Big) $

$= (-1)^{n+2}\Big(-\frac{n(n+1)}{2} + (n+1)^2\Big)$

$= (-1)^{n+2}(n+1)(-\frac{n}{2} + n + 1)$

$= (-1)^{n+2}(n+1)(\frac{n}{2} + 1)$

$= (-1)^{n+2}\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$

$= (-1)^{(n+1)+1}(1+2+\ldots+n+(n+1))$

$= (-1)^{k+1}(1+2+\ldots+k)$

en dat was precies wat we wilden aantonen
$\Box$