IMSC 2023
Dag 1
Vraag 1
Vind alle functies $f \colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ zodanig dat $f(1) \neq f(-1)$ en$$f(m+n)^2 \mid f(m)-f(n)$$voor alle gehele getallen $m, n$.
Vraag 2
Er zijn $n!$ lege manden in een rij, genummerd van $1$ tot $n!$. Caesar plaatst eerst één steen in elke mand. Vervolgens plaatst Caesar 2 stenen in elke tweede mand. Caesar gaat op dezelfde manier verder totdat hij $n$ stenen in elke $n$-de mand heeft geplaatst. Met andere woorden, voor elk $i = 1, 2, . . . , n$ plaatst Caesar $i$ stenen in de manden met de nummers $i, 2i, 3i, . . . , n!$.
Laat $x_i$ het aantal stenen zijn in mand $i$ na al deze stappen. Toon aan dat
$$n! \cdot n^2 \leq \sum_{i=1}^{n!} x_i^2 \leq n! \cdot n^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} $$
Vraag 3
Een binoku is een rooster van $9 \times 9$ dat is verdeeld in negen $3 \times 3$ subroosters met de volgende eigenschappen:
elke cel bevat ofwel een $0$ ofwel een $1$,
elke rij bevat minstens een $0$ en minstens een $1$,
elke kolom bevat minstens een $0$ en minstens een $1$, en
elk van de negen subroosters bevat minstens een $0$ en minstens een $1$.
Een onvolledige binoku wordt verkregen door de getallen uit sommige cellen van een binoku te verwijderen. Wat is het grootste aantal lege cellen dat een onvolledige binoku kan bevatten als deze op een unieke manier tot een volledige binoku kan worden aangevuld?
Dag 2
Vraag 1
Laat $ABC$ een driehoek zijn met de ingeschreven cirkel met middelpunt $I$, en laat $AI$ $BC$ snijden bij $D$. Laat $E$ een punt zijn op het lijnsegment $AC$, zodanig dat $CD=CE$, en laat $F$ een punt zijn op het lijnsegment $AB$, zodanig dat $BF=BD$. Laat $(CEI) \cap (DFI)=P \neq I$ en $(BFI) \cap (DEI)=Q \neq I$. Bewijs dat $PQ \perp BC$.
Vraag 2
In het vlak worden $2022$ punten gekozen op zo'n manier dat geen drie punten op dezelfde lijn liggen. Elk van de punten is gekleurd als rood of blauw, zodanig dat elke driehoek gevormd door drie verschillende rode punten minstens één blauw punt bevat.
Wat is het grootst mogelijke aantal rode punten?
Vraag 3
Vind alle polynomen $P(x)$ met gehele coëfficiënten zodanig dat voor alle positieve gehele getallen $m, n$ geldt:
$$m+n \mid P^{(m)}(n)-P^{(n)}(m).$$
