manden

Er zijn $n!$ lege manden in een rij, genummerd van $1$ tot $n!$. Caesar plaatst eerst één steen in elke mand. Vervolgens plaatst Caesar 2 stenen in elke tweede mand. Caesar gaat op dezelfde manier verder totdat hij $n$ stenen in elke $n$-de mand heeft geplaatst. Met andere woorden, voor elk $i = 1, 2, . . . , n$ plaatst Caesar $i$ stenen in de manden met de nummers $i, 2i, 3i, . . . , n!$.

Laat $x_i$ het aantal stenen zijn in mand $i$ na al deze stappen. Toon aan dat
$$n! \cdot n^2 \leq \sum_{i=1}^{n!} x_i^2 \leq n! \cdot n^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} $$