VWO 2023

Dag 1

Vraag 1

Een rekenkundige rij is een rij van getallen waarvoor geldt dat het verschil tussen twee opeenvolgende termen constant is. Zo is dit een rekenkundige rij met verschil $\frac 56$ :
$$\frac 13, \frac 76, 2 ,\frac{17}{6}, \frac{11}{3},\frac 92.$$
De rij van zeven natuurlijke getallen 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420 heeft de eigenschap dat de rij omgekeerde getallen (d.w.z. de rij $\frac 1{60}, \frac 1{70}, \frac 1{84}, \frac 1{105}, \frac 1{140}, \frac 1{210}, \frac 1{420}$) een rekenkundige rij is.
(a) Bestaat er een rij van acht verschillende natuurlijke getallen waarvan de omgekeerde getallen een rekenkundige rij vormen?
(b) Bestaat er een oneindige rij van verschillende natuurlijke getallen waarvan de omgekeerde getallen een rekenkundige rij vormen?

Vraag 2

In het vlak is het punt M het midden van een lijnstuk [AB] en is $\ell$ een willekeurige rechte die geen gemeenschappelijk punt heeft met het lijnstuk [AB] (en ook niet loodrecht op [AB] staat). De punten X en Y zijn de loodrechte projecties van respectievelijk A en B op $\ell$. Toon aan dat de omgeschreven cirkels van driehoek △AMX en driehoek △BMY dezelfde straal hebben.

Vraag 3

De hoekpunten van een regelmatige 4-hoek, 6-hoek en 12-hoek kunnen in een punt samengebracht worden om samen een volledige hoek van 360◦ te vormen.
Bepaal alle drietallen $a, b, c \in \mathbb N$ met a < b < c waarvoor de hoeken van een regelmatige a-hoek, b-hoek en c-hoek samen ook 360◦ vormen.

Vraag 4

In een dorp wonen 12 wiskundigen die elk ofwel tot de $\sqrt 2$-clan ofwel tot de $\pi$-clan behoren. Bovendien verjaart elke wiskundige in een andere maand en heeft elke wiskundige een oneven aantal vrienden onder de wiskundigen. We spreken af dat als wiskundige A een vriend is van wiskundige B, dan B tevens een vriend is van A.
Elke wiskundige bekijkt op zijn verjaardag tot welke clan de meerderheid van zijn vrienden behoort, en beslist toe te treden tot die clan tot zijn volgende verjaardag.
Bewijs dat de wiskundigen vanaf een bepaald moment niet meer van clan wisselen.